Δραστηριότητες κορμού

Σκοπός: Να αντιληφθούν οι μαθητές   ότι η επαγωγή είναι η μέθοδος της ανακάλυψης γενικών νόμων, με την παρατήρηση και το συνδυασμό ειδικών περιπτώσεων

Ηλικίες: 7 χρονών και πάνω

Διάρκεια: 20′ και πάνω

O πύργος του Ανόι

Στόχος Να αντιληφθούν οι μαθητές ότι η επαγωγή είναι η μέθοδος της ανακάλυψης γενικών νόμων, με την παρατήρηση και το συνδυασμό ειδικών περιπτώσεων. Ενώ η μαθηματική επαγωγή είναι μέθοδος απόδειξης που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά.

Σύμφωνα με το μύθο ο Πύργος ήταν σ’ έναν Ινδουιστικό ναό στην πόλη Μπεναρές της Ινδίας. Κάποια στιγμή οι ιερείς έπρεπε να μεταφέρουν τον πύργο που αποτελείτο από 64 εύθραυστους χρυσούς δίσκους,από το ένα μέρος του ναού στο άλλο.Οι δίσκοι είχαν όλοι διαφορετικό μέγεθος και ήταν τοποθετημένοι σε μια στήλη, από τον μεγαλύτερο στο κάτω μέρος, στο μικρότερο στην κορυφή. Λόγω της ευθραυστότητας των δίσκων δεν επιτρεπόταν να τοποθετηθεί μεγαλύτερος δίσκος πάνω σε μικρότερο και υπήρχε μόνο ένα μόνο ενδιάμεσο μέρος όπου μπορούσαν να τοποθετηθούν προσωρινά οι δίσκοι.Λέγεται ότι προτού οι ιερείς τελειώσουν αυτό το έργο, ο ναός θα έχει γίνει σκόνη και ο κόσμος θα έχει εξαφανιστεί.

Θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε με μαθηματικό τρόπο πόσος χρόνος θα χρειαζόταν γι’ αυτήν την εργασία;

Το παιχνίδι εφηύρε ο Γάλλος μαθηματικός Eduard Lucas το 1833, εμπνευσμένος από τον αντίστοιχο μύθο.

  • Μετακίνησε όλους τους δίσκους από την αριστερή ράβδο στην δεξιά.
  • Μπορείς να μετακινείς μόνο ένα δίσκο τη φορά.
  • Ένας μεγαλύτερος δίσκος δε μπορεί να τοποθετηθεί πάνω από ένα μικρότερο.

 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Έχουμε ν δίσκους στην αριστερή ράβδο τοποθετημένους από το μεγαλύτερο στο μικρότερο και θέλω να τους μετακινήσω στη δεξιά ράβδο με τις λιγότερες δυνατές κινήσεις. Τη μεσαία ράβδο τη χρησιμοποιώ σαν βοηθητική.Δε μπορώ να τοποθετώ μεγαλύτερo δίσκο πάνω σε μικρότερο. Η μεταφορά από τη μία ράβδο σε μια άλλη θεωρείται μία κίνηση.     

   

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που θα χρειαστούμε για τη μεταφορά των ν δίσκων;

Αν στο μύθο, κάθε μοναχός χρειάζεται για κάθε κίνηση ένα δευτερόλεπτο πόσος χρόνος θα χρειαστεί μέχρι να μετακινηθεί όλος ο πύργος των 64 δίσκων;

  1. Ας ξεκινήσουμε με 1 δίσκο στην αριστερή στήλη.  
    Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων για να τον μεταφέρετε στη δεξιά στήλη;

  2. Τώρα τοποθετείστε 2 δίσκους  στην αριστερή στήλη.
    Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων για να τους μεταφέρετε στη δεξιά στήλη;

  3. Δοκιμάστε τώρα με 3 δίσκους.   

  4. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. 

  5. Παρατηρώντας τον προηγούμενο πίνακα ,διακρίνετε κάποιο αναδρομικό τύπο; Δηλαδή κάποιον τύπο που να μας υπολογίζει  το Αν από το προηγούμενο Αν-1; (το Α2 από το Α1, το Α3 από το Α2 , το Α4 από το Α3 κ.ο.κ.)

  6. Μπορείτε τώρα να υπολογίσετε το Α5;

Αριθμός δίσκων

Αριθμός κινήσεων

  1

A1=1

2

A2=3

3

Α3=7

4

Α4=15

5

Α5=

ν

Αν

Εύρεση αναδρομικού τύπου: Παρατηρώντας τον αριθμό των κινήσεων, καθώς προσθέτουμε ένα δίσκο τη φορά, βλέπουμε ότι ο συνολικός αριθμός κινήσεων είναι: Αν=Αν-1+1+Αν-1

Άρα Αναλυτικά έχω :      

  1. Για 1 δίσκο έχω  Α1=1=1 = 21-1

  2. Για 2 δίσκους έχω  Α2=  Α1 + 1+ Α1 = 2(1)  + 1 =  3 = 22-1

  3. Για 3 δίσκους έχω   Α3=  Α2 + 1 + Α2= 2(3)  + 1 =  7 = 23-1

  4. Για 4 δίσκους έχω   Α4=  Α3 + 1+  Α3= 2(7)  + 1 = 15  =24-1

  5. Για 5 δίσκους έχω:  Α5=  Α4 + 1+ Α4 = 2(15) + 1 = 31 = 25-1

Και γενικά Αν=2ν-1 Η μέθοδος της επαγωγής είναι μέθοδος ανακάλυψης νόμων και όχι απόδειξης. Για να είμαστε σίγουροι χρειαζόμαστε απόδειξη.

Οι μοναχοί θα χρειαστούν 264-1 κινήσεις για να μεταφέρουν τον πύργο.  Εάν για κάθε κίνηση κάθε μοναχός θέλει 1sec.για την ολοκλήρωση του έργου θα χρειαστούν 264-1 sec δηλ.590.000.000.000 χρόνια. Η Γη σχηματίστηκε περίπου πριν από περίπου 4,54 δισεκατομμύρια έτη. Η πιθανότερη τελική κατάληξη του πλανήτη είναι η απορρόφηση από τον Ήλιο σε 7,5 δισεκατομμύρια χρόνια, όταν το αστέρι έχει εισέλθει στη φάση του ερυθρού γίγαντα και επεκταθεί τόσο ώστε να «καταπιεί» την τροχιά του πλανήτη, μαζί τον πλανήτη, με αποτέλεσμα την καταστροφή του.